Netiesioginiai integralai

Aukštoji matematika

1. Ar konverguoja netiesioginis integralas ∫dx/((√x^3)*ln(x)^2) , reziai 1 ir +∞?
2. Ar konverguoja netiesioginis integralas ∫dx/√((2-x)*ln(x)),reziai 1 ir 2? abu trukio taskai tai ar tai reiskia,kad diverguoja ?
abiejuose uzdaviniuose labai ne kokie integralai,pritaikius integravima dalimis neiseina man net rezultato normalaus gaut,gal kazka ne taip darau ?

Šių integralų geriau ir neintegruoti.

Iš pradžių pagalbinis pastebėjimas: ln(x) / (x - 1) -> 1, kai x -> 1+. Tai galima išvesti iš (1+1/x)^x -> e, kai x -> ∞, kas yra ekvivalentu (1 + x)^(1/x) -> e, kai x -> 0+, kas yra x^(1/(x-1)) -> e, kai x -> 1+. ln yra tolydi funkcija, todėl ln[ x^(1/(x-1)) ] -> 1, kai x -> 1+, kas ir reiškia pradinį teiginį.

Remiantis šia savybe, žinome, jog yra toks c > 1, kad ln(x) < 2 * (x - 1) su visais 1 < x < c. Taip pat yra toks d > 1, kad ln(x) > 1/2 * (x - 1) su visais 1 < x < d.

1. Parodysime, kad integralas nekonverguoja ties 1. Kai x < c, x^(-3/2) / [ ln(x) ]^2 > c^(-3/2) / [ ln(x) ]^2 > c^(-3/2) / [ 2*(x-1) ]^2. Dėl patogumo rašykime k = c^(-3/2) / 4 ir tuomet turime, kad pradinis integralas rėžyje nuo 1 iki c ne mažesnis nei ∫ k/(x-1)^2 dx = -k/(d-1) + lim{x->1} k/(x-1) = ∞, taigi integralas nekonverguoja.

2. Parodysime, kad šis integralas konverguoja. Rėžyje nuo 3/2 iki 2 turime √[(2-x)*ln(x)] > m*√(2-x), kur m = ln(3/2), taigi šiame rėžyje ∫dx/√((2-x)*ln(x)) ≤ 1/m * ∫ dx / √(2-x) = √2 (net jei suklydau skaičiuodamas, aišku, kad ši reikšmė baigtinė), taigi integralas konverguoja ties 2. Rėžyje nuo 1 iki d turime √[(2-x)*ln(x)] > n*√(x - 1), kur n = 1/√2, taigi ∫dx/√((2-x)*ln(x)) ≤ 1/n * ∫ dx / √(x-1) irgi susiintegruoja. O rėžyje nuo d iki 3/2 tikrai susiintegruoja, nes 1/√[(2-x)*ln(x)] tame rėžyje tolydi.

Paskutinį kartą redaguota 2009-09-24 21:05

o remiantis iprastai netiesioginio integralo budais ,integruojant  ir rezius renkantis 1+epsilon ,su lim ir pan. nelabai kaip supratau eina issprest ?  na aciu bent uz tokia pagalba,telieka issiaiskinti :)

Mes aiškiai nesimokome ten pat, taigi aš nežinau, koks metodas tau įprastas.

Jei gerai suprantu, tu norėtum suintegruoti antrą integralą rėžyje nuo a iki b, kur 1 < a < b < 2 ( arba rėžyje nuo 1 + d iki 2 - e, kai d, e > 0 ) ir tuomet imti ribas, kad a -> 1 ir b -> 2. Deja, šitaip nepavyks, nes ∫dx/√((2-x)*ln(x)) nesuintegruoja ir integrals.wolfram.com, o ∫dx/((√x^3)*ln(x)^2) = -1/2 Ei( -ln(x) / 2 ) - 1 / (√x ln(x)) + C, kur funkcija Ei yra apibrėžta kaip tam tikro dalyko integralas.

Aš darau labai panašiai. Tik iš pradžių pertvarkau reiškinį, kurį integruoju. Jei noriu parodyti, kad ties kažkuriuo tašku integralas nutolsta į begalybę, susimažinu į paprastesnį reiškinį, kurio integralas vis dar nutolsta į begalybę. Jei noriu parodyti, kad ties kažkuriuo tašku integralas konverguoja, pasididinu integruojamą reiškinį iki kažkokio paprastesnio, kuris vis dar konverguoja. Ir jau dabar darau taip, kaip sakei tu.

Norėdami rašyti žinutes, privalote prisijungti!